حل کاردرکلاس صفحه48 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 48 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین شما را با مفهوم **ریشه‌ی سوم** (جذر سوم) و کاربرد آن در یافتن طول ضلع مکعب از روی حجم آن آشنا می‌کند. ### **گام ۱: تکمیل جدول** ما از رابطه‌ی حجم مکعب $V = a^3$ استفاده می‌کنیم: 1. **ستون سوم:** حجم $V = 27$ است. $a^3 = 27 \Rightarrow a = \sqrt[3]{27} = 3$. 2. **ستون چهارم:** طول ضلع $a = 4$ است. $V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$. 3. **ستون پنجم:** حجم $V = 125$ است. $a^3 = 125 \Rightarrow a = \sqrt[3]{125} = 5$. | طول ضلع | $1$ | $2$ | $\mathbf{3}$ | $4$ | $\mathbf{5}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | حجم مکعب | $1$ | $8$ | $27$ | $\mathbf{64}$ | $125$ | ### **گام ۲: حدس زدن طول ضلع مکعب با حجم $25 \text{ متر مکعب}$** حجم $25$ بین دو عدد $8$ (برای $a=2$) و $27$ (برای $a=3$) قرار دارد. $$8 < 25 < 27$$ $$\Rightarrow 2^3 < 25 < 3^3$$ بنابراین، طول ضلع $a$ باید بین $2$ و $3$ باشد (یعنی $\mathbf{2 < a < 3}$). از آنجایی که $25$ بسیار نزدیک به $27$ است، حدس می‌زنیم که $a$ کمی کمتر از $3$ باشد (مثلاً $2.9$). ### **گام ۳: آزمایش حدس (پیدا کردن ریشه‌ی سوم)** طول ضلع $a$ دقیقاً برابر با $\sqrt[3]{25}$ است. با استفاده از ماشین حساب (یا حدس‌های دقیق‌تر): * آزمایش $2.9$: $2.9^3 = 2.9 \times 2.9 \times 2.9 = 24.389$ (نزدیک است، ولی کمی کوچک‌تر) * آزمایش $2.92$: $2.92^3 \approx 24.88$ (بسیار نزدیک) * آزمایش $2.924$: $2.924^3 \approx 25.008$ (دقیق‌ترین حدس) $$\text{مقدار دقیق} \quad a = \sqrt[3]{25} \approx \mathbf{2.924 \text{ متر}}$$ **نتیجه:** طول ضلع مخزن آب تقریباً $\mathbf{2.924 \text{ متر}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 48 ریاضی دهم - مسئله ۳ این تمرین به شما کمک می‌کند تا با **مقدار عددی ریشه‌ها** آشنا شوید و درک کنید که این اعداد کجا روی محور اعداد قرار می‌گیرند. ### **محاسبه‌ی مقادیر رادیکالی** 1. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-2}}$$** * **تحلیل:** ریشه‌ی سوم یک عدد منفی است، پس نتیجه منفی است. از آنجایی که $\sqrt[3]{-1}=-1$ و $\sqrt[3]{-8}=-2$، مقدار باید بین $-1$ و $-2$ باشد. * **مقدار تقریبی:** $$\sqrt[3]{-2} \approx \mathbf{-1.26}$$ 2. **$$\mathbf{\sqrt[4]{1.4}}$$** * **تحلیل:** ریشه‌ی چهارم یک عدد مثبت است. از آنجایی که $1^4=1$ و $2^4=16$، مقدار باید کمی بزرگ‌تر از $1$ باشد. * **مقدار تقریبی:** $$\sqrt[4]{1.4} \approx \mathbf{1.09}$$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[4]{4}}$$** * **تحلیل:** ریشه‌ی چهارم $4$ با ریشه‌ی دوم $2$ برابر است. $\sqrt[4]{4} = \sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{2}$. * **مقدار تقریبی:** $$\sqrt[4]{4} \approx \mathbf{1.41}$$ 4. **$$\mathbf{\sqrt[3]{125}}$$** * **تحلیل:** $5 \times 5 \times 5 = 125$. * **مقدار دقیق:** $$\sqrt[3]{125} = \mathbf{5}$$ 5. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-9}}$$** * **تحلیل:** ریشه‌ی سوم یک عدد منفی است. از آنجایی که $\sqrt[3]{-8}=-2$ و $\sqrt[3]{-27}=-3$، مقدار باید کمی کوچک‌تر از $-2$ باشد. * **مقدار تقریبی:** $$\sqrt[3]{-9} \approx \mathbf{-2.08}$$ | عبارت | مقدار عددی (تقریبی) | | :---: | :---: | | $\sqrt[3]{-2}$ | $-1.26$ | | $\sqrt[4]{1.4}$ | $1.09$ | | $\sqrt[4]{4}$ | $1.41$ | | $\sqrt[3]{125}$ | $5$ | | $\sqrt[3]{-9}$ | $-2.08$ | ### **نمایش روی محور اعداد** (برای نمایش روی محور، مکان تقریبی اعداد را مشخص می‌کنیم): $$\sqrt[3]{-9} \leftarrow \sqrt[3]{-2} \leftarrow \sqrt[4]{1.4} \leftarrow \sqrt[4]{4} \leftarrow \sqrt[3]{125}$$ $$\quad -2.08 \quad -1.26 \quad \quad 1.09 \quad \quad 1.41 \quad \quad 5$$ **محور اعداد (تصویری):** **نکته:** دقت کنید که $\sqrt[n]{A}$ تنها زمانی در اعداد حقیقی تعریف می‌شود که: * اگر **فرجه ($n$) زوج** باشد، **داخل رادیکال ($A$) باید نامنفی** باشد ($A \ge 0$). * اگر **فرجه ($n$) فرد** باشد، داخل رادیکال می‌تواند هر عددی باشد ($A \in \mathbb{R}$).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 48 ریاضی دهم - مسئله ۴ این تمرین بر پایه‌ی رابطه‌ی معکوس بین ریشه و توان است. برای پیدا کردن عدد داخل رادیکال، کافی است طرفین نامساوی را به توان فرجه برسانیم. ### **الف) $\mathbf{4 < \sqrt{\underline{\hspace{1cm}}} < 5}$** **گام ۱: به توان ۲ رساندن** چون فرجه‌ی رادیکال $2$ است، طرفین را به توان $2$ می‌رسانیم: $$4^2 < (\sqrt{\hspace{1cm}})^2 < 5^2$$ $$16 < \underline{\hspace{1cm}} < 25$$ **گام ۲: انتخاب عدد** ما باید عددی را انتخاب کنیم که بین $16$ و $25$ باشد. * مثال‌ها: $17$، $20$، $24.9$ $$\mathbf{4 < \sqrt{20} < 5}$$ ### **ب) $\mathbf{9 < \sqrt[3]{\underline{\hspace{1cm}}} < 10}$** **گام ۱: به توان ۳ رساندن** چون فرجه‌ی رادیکال $3$ است، طرفین را به توان $3$ می‌رسانیم: $$9^3 < (\sqrt[3]{\hspace{1cm}})^3 < 10^3$$ $$729 < \underline{\hspace{1cm}} < 1000$$ **گام ۲: انتخاب عدد** ما باید عددی را انتخاب کنیم که بین $729$ و $1000$ باشد. * مثال‌ها: $730$، $800$، $999.9$ $$\mathbf{9 < \sqrt[3]{800} < 10}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 48 ریاضی دهم - مسئله ۵ این مسئله ترکیبی از مفهوم **حجم مکعب** و **ریشه‌ی سوم** با مفهوم **نامساوی‌ها** است. ### **گام ۱: پیدا کردن طول ضلع مکعب‌های معلوم** از رابطه‌ی $a = \sqrt[3]{V}$ استفاده می‌کنیم: * **مکعب بیرونی ($a_{\text{بزرگ}}$):** $$V_{\text{بزرگ}} = 64 \Rightarrow a_{\text{بزرگ}} = \sqrt[3]{64} = 4$$ * **مکعب داخلی ($a_{\text{کوچک}}$):** $$V_{\text{کوچک}} = 27 \Rightarrow a_{\text{کوچک}} = \sqrt[3]{27} = 3$$ ### **گام ۲: تعیین محدوده‌ی طول ضلع مکعب میانی ($a_{\text{میانی}}$)** چون مکعب میانی بین مکعب داخلی (کوچک) و مکعب بیرونی (بزرگ) قرار گرفته است، طول ضلع آن ($a_{\text{میانی}}$) باید بین $3$ و $4$ باشد. $$3 < a_{\text{میانی}} < 4$$ ### **گام ۳: پیدا کردن حداقل سه پاسخ متفاوت** هر عددی که بین $3$ و $4$ باشد، می‌تواند طول ضلع مکعب میانی باشد: 1. **پاسخ ۱ (کسری):** $a_{\text{میانی}} = \mathbf{3.5}$ (یا $\frac{7}{2}$) 2. **پاسخ ۲ (رادیکالی):** $a_{\text{میانی}} = \mathbf{\sqrt[3]{40}}$ (چون $3^3=27$ و $4^3=64$، هر ریشه‌ی سومی بین $\sqrt[3]{27}$ و $\sqrt[3]{64}$ مناسب است. $27 < 40 < 64$) 3. **پاسخ ۳ (اعشاری):** $a_{\text{میانی}} = \mathbf{3.14}$ (مانند عدد $\pi$ که در این محدوده است.) **توضیح:** در واقع هر عدد حقیقی بین $3$ و $4$ یک پاسخ صحیح است. به عنوان مثال، اگر $a_{\text{میانی}} = 3.5$ باشد، حجم آن $V_{\text{میانی}} = (3.5)^3 = 42.875$ است که بین $27$ و $64$ قرار دارد.